Matematické štruktúry a priestory

Matematiku je možné nájsť v mnohých oblastiach vedy a techniky, pričom jednou z oblatí, kde sa vyskytuje vo väčšej miere je informatika. Samotná informatika sa delí na ďalšie oblasti, ktorých je pomerne veľké množstvo. Medzi hlavné oblasti patrí teoretická informatika, ktorá pozostáva najmä z diskrétnej matematiky, teórie formálnych jazykov, teórie vypočítateľnosti a zložitosti. Tieto predmety a ďalšie podobné z tejto oblasti sú nosným pilierom informatických študijných odborov. Ďalej sú to informačné systémy ako systémy pre spracovanie dát, kde hlavným predmetom sú databázy, ich návrh a administrácia. Potom veľkou oblasťou je softvérové inžinierstvo, ktoré sa zaoberá vývojom softvéru. Ďalšou oblasťou je aplikovaná informatika, v ktorej majú jednotlivé predmety interdisciplinárny charakter, do ktorej patrí práve počítačová grafika alebo umelá inteligencia.

Programovanie by bolo možné považovať ako jednu z oblastí informatiky, ktorá sa zaoberá návrhom algoritmu, analýzou zdrojového kódu ako aj jeho písaním, testovaním a údržbou. Je súčasťou mnohých oblastí informatiky, avšak najkomplexnejšie je zahrnuté v rámci softvérového inžinierstva.

Počítačová grafika používa prostriedky z viacerých odvetví matematiky, ale pre účely tohto seriálu budú potrebné hlavne poznatky z lineárnej algebry ako aj niektoré poznatky z geometrie.

Matematická štruktúra je množina s dodatočnou informáciou. V podstate už tým, že sa jedná o štruktúru tak nám to hovorí samo o sebe niečo, čo tvorí určité zoskupenie, ktoré pozostáva z viac prvkov a navyše vzťahov medzi nimi. Na to, aby sme boli schopný sa nejakým spôsobom orientovať v priestore bude potrebné zaviesť matematické štruktúry ako metrický priestor, vektorový priestor a unitárny priestor.

Metrický priestor

Keď si predstavíme množinu bodov v priestore, tak medzi týmito bodmi môžeme merať vzdialenosti. Tieto vzdialenosti môžeme určiť meraním alebo výpočtom. Napr. ak:


\(
A = (a_1, a_2, a_3); B = (b_1, b_2, b_3)
\)

potom vzdialenosť medzi bodmi A, B bude


\(
d(A,B)=\sqrt{(a_1 – b_1)^{2}+(a_2 – b_2)^{2}+(a_3 – b_3)^{2}}
\)

Táto vzdialenosť sa nachádza na istej množine, v našom prípade na množine bodov v priestore. Každá takáto vzdialenosť má určité vlastnosti:

  • Vzdialenosť nemôže byť záporná, t.j. \(d(A,B) \geq 0\), pričom vzdialenosť bodu od samého seba musí byť nulová, naopak dva rôzne body nemôžu mať nulovú vzdialenosť, t.j. \(A\neq B \Leftrightarrow d(A,B)> 0\)
  • Vzdialenosť musí byť symetrická (cesta z bodu A do bodu B je rovnako dlhá ako z B do A, t.j. \(d(A,B) = d(B,A)\)
  • Ak cestujeme z bodu A do bodu B cez bod C, nemôže byť vzdialenosť menšia, než keby sme cestovali priamo z A do B, t.j. \(d(A,B)\leq d(A,C) + d(B,C)\)

Množina, na ktorej takáto vzdialenosť existuje, nazývame metrickým priestorom. Funkcia, ktorá spĺňa uvedené vlastnosti, nemusí mať veľa spoločného s bežne chápanou vzdialenosťou a obecne sa nazýva metrika.

Rôznymi vektorovými úpravami sa pohybujeme v priestore vzdialeností. Najviac zaujímavé to bude v kapitole o Raytracingu, teda o metóde sledovania lúča, pri vykresľovaní scén, kde len „obyčajnými“ elementárnymi úpravami vektorov dostanem fotorealistickú scénu.

Vektorový priestor

Vektorový priestor je hlavným objektom lineárnej algebry, ktorá sa zaoberá týmto priestorom a ostatnými súvisiacimi objektmi podrobnejšie. Na tomto mieste budú niektoré časti vynechané, alebo spomenuté len okrajovo.

Vektory väčšinou chápeme ako orientované úsečky, usporiadané dvojicami alebo trojicami reálnych číslic. Týmito vektormi dokážeme manipulovať sčítaním, odčítaním, použiť skalárny alebo vektorový súčin. Medzi týmito operáciami platí zákon asociácie, komutatívnosti, sčítanie opačnými prvkami s výsledkom nulového vektora. To isté platí o maticiach.

Sčítanie má nasledujúce vlastnosti:

  • Operácia je asociatívna
  • Existuje prvok, ktorý po pričítaní k ľubovoľnému prvku tento prvok nezmení (tzv. nulový alebo neutrálny prvok)
  • Ku každému prvku je možné nájsť taký prvok, že ich súčtom je prvok nulový (tzv. opačný alebo inverzný prvok)

Množina, ktorá spĺňa tieto vlastnosti sa nazýva grupou.

Ak budeme uvažovať násobenie prvkov grupy skalárom bude operácia označená \(\otimes\) taká, že pre každé dva prvky grupy u, v s operáciou \(\oplus\) a každé dva skaláry \(c, d \in \mathbb{R}\) platí:

\(a) c(d\otimes u)=(cd)\otimes u\)
\(b) 1 \otimes u = u\)
\(c) (c+d)\otimes u = (c\otimes u)\oplus (d\otimes u)\)
\(d) c\otimes (u\oplus v)=(c\otimes u)\oplus (c\otimes v)\)

Grupa vybavená násobením skalára nazývame vektorovým (lineárnym) priestorom.

Hovoríme, že vektor v, pre ktorý existujú čísla \(c_1, c_2,…,c_n \in \mathbb{R}\) tak, že \(v = c_1 u_1 + c_2 u_2,+…+,c_n u_n\), je lineárnou kombináciou vektorov \(c_1 u_1 + c_2 u_2 +…+ c_n u_n = 0\), nazývame lineárne závislé, v opačnom prípade lineárne nezávislé. Lineárne nezávislé vektory, ktorých vhodnou lineárnou kombináciou je možné vytvoriť ľubovoľný vektor daného priestoru nazývame bázou tohto priestoru. V podstate je to taký vektor, ktorý ekvivalentnými úpravami dostaneme vektor z toho istého priestoru. Všetky konečné bázy (môže ich byť viac) toho istého priestoru majú rovnaký počet prvkov. Tento počet prvkov nazývame dimenziou priestoru. V podstate báza vygeneruje celý priestor.

Unitárny (euklidovský) priestor

Niekedy sa unitárny priestor nazýva aj euklidovský priestor. Je to klasické vnímanie priestoru v 2D a 3D, na ktorý sme intuitívne zvyknutý, teda jedná sa o dvojrozmernú alebo trojrozmernú rovinu, definovanú ako karteziánska sústava súradníc. Euklidovský priestor je metrickým priestorom, čiže je možné v ňom zaviesť pojmy ako vzdialenosť.

Medzi základné vlastnosti euklidovského priestoru patrí:

  • Rovnobežky sa nikde nepretínajú (alebo sa pretínajú v nekonečne)
  • Súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov

V lineárnej algebre sa definuje euklidovský priestor ako unitárny priestor nad množinou reálnych číslic. Unitárny priestor je vektorový priestor vybavený skalárnym súčinom. Skalárny súčin je pre vektory \(u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3)\) je reálne číslo \(uv=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\).

Karteziánska sústava súradníc je taká sústava súradníc, v ktorej sú súradnicové osi vzájomne kolmé a pretínajú sa v jednom bode – v počiatku súradnicovej sústavy. Jednotky sa volia na všetkých osiach rovnako veľké. Jednotlivé súradnice polohy telesa je možné dostať ako kolmé priemety polohy k jednotlivým osiam. V rovine má táto sústava dva kolmé osy \((x,y)\) a v priestore tri kolmé osy \((x,y,z)\).

V tejto karteziánskej sústave súradníc je potom vzdialenosť dd medzi dvoma bodmi X a Y v súradniciach \((x_1,x_2,…,x_n),(y_1,y_2,…,y_3)\) určená vzťahom:

\(d=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^{2}}\)

Priestory, v ktorých nie sú splnené euklidovské axiómy sa nazýva neeuklidovská geometria.

Ďalšie štruktúry, ktoré použijeme v ďalších častiach seriálu budú aritmetické vektory a matice. Tieto štruktúry budú v jednoduchosti definované počas ich prvého výskytu.

You may also like...